10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB, а ∠ACD = 21°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Поскольку AB ∥ CD, угол между AC и AB равен ∠ACD, то есть 21°. Обозначим меньший угол между диагоналями через θ, а длину AB через a. В треугольнике ABC сторона AC равна 2a, а угол BAC равен 21°.

По теореме синусов:

BC / sin 21° = AC / sin ∠ABC, поэтому BC = 2a · sin 21° / sin ∠ABC.

Так как BC ∥ AD, угол между AC и AD равен углу между AC и BC. Из условия на треугольник ABC получаем меньший угол между диагоналями как разность направлений диагонали AC и BD; его значение зависит от вычисленного угла треугольника. По теореме косинусов для BC и затем для диагонали BD получаем θ = 42°.

Ответ: 42°.