10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и \(\angle ACD=169^\circ\). Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как \(AB\parallel CD\), угол между прямыми \(AC\) и \(AB\) равен меньшему углу между \(AC\) и \(CD\): \(180^\circ-169^\circ=11^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Пусть \(AB=a\), тогда \(AC=2a\), а угол между ними равен \(11^\circ\). По теореме синусов угол \(B\), противолежащий стороне \(AC\,\), удовлетворяет \(\sin B=2\sin11^\circ\). Следовательно, \(B\approx22.4^\circ\) либо \(157.6^\circ\). По изображённой конфигурации и условию параллелограмма подходят обе конфигурации; соответствующий угол между диагоналями получается неодинаковым: из треугольника с диагоналями он зависит от положения стороны \(BC\). Однако условие сообщает длину только \(AC\) относительно \(AB\) и угол при \(C\); это задаёт треугольник, а угол между диагоналями можно определить.

В треугольнике \(ABC\), если угол при \(A\) равен \(11^\circ\), то угол при \(C\) определяется из \(\sin B=2\sin11^\circ\). Для выпуклого параллелограмма, соответствующего рисунку, \(B\) — тупой угол, поэтому \(B=180^\circ-\arcsin(2\sin11^\circ)\), и \(C=\arcsin(2\sin11^\circ)-11^\circ\). Но угол между диагоналями дополнительно зависит от отношения сторон и находится как угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\), используя \(BD=2AB\cos(B/2)\). Тогда угол между диагоналями составляет примерно \(67.6^\circ\).

При данных рисунка угол между диагоналями получается численно, а не целым числом; точное значение: \(\arctan\!\left(\frac{2\sin11^\circ}{1-2\cos11^\circ}\right)\) с выбором острого угла, примерно \(67.6^\circ\).