13. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 32, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно \(8\sqrt{15}\).

Пусть \(AD\parallel BC\), а перпендикулярная боковая сторона равна высоте \(h\). В прямоугольном треугольнике \(ABD\) угол \(A=45^\circ\), поэтому горизонтальная проекция \(AD\) и высота равны: \(AD=h\). Диагональ \(BD=32\), значит \(h\sqrt2=32\), откуда \(h=16\sqrt2\).

По рисунку меньшим основанием является \(BC=8\sqrt{15}\). Горизонтальный сдвиг между концами наклонной боковой стороны равен \(AD-BC=16\sqrt2-8\sqrt{15}\); поскольку это значение отрицательно, основания в такой ориентации не согласуются с «меньшим» основанием и указанным углом. В прямоугольной трапеции с углом \(A=45^\circ\) диагональ \(BD\) задаёт \(AD=16\sqrt2\), а из этого следует \(AD<8\sqrt{15}\), так как \(16\sqrt2\approx22.63\), тогда как \(8\sqrt{15}\approx30.98\). Следовательно, меньшим основанием должно быть \(AD\), а не \(BC\). Тогда \(AD=8\sqrt{15}\), что противоречит \(BD=32\) и углу \(A=45^\circ\).

С указанными данными задача противоречива: в треугольнике \(ABD\) при угле \(A=45^\circ\) и \(BD=32\) основание \(AD=16\sqrt2\), которое не равно меньшему основанию \(8\sqrt{15}\) в конфигурации, необходимой для прямоугольной трапеции. Проверьте, пожалуйста, исходное число или обозначение основания.