10. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла B, если DA = 4, а AC = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, высота CD делит его на два подобных треугольника: ADC и BDC. Также оба эти треугольника подобны исходному треугольнику ABC.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Мы знаем, что угол ADC = 90°, DA = 4 и AC = 8.
3. В треугольнике ADC, синус угла ACD равен отношению противолежащего катета DA к гипотенузе AC: \( ext{sin}( ext{ACD}) = rac{DA}{AC} = rac{4}{8} = rac{1}{2} \).
4. Угол ACD, синус которого равен 1/2, равен 30°.
5. Угол ACB = 90°. Угол ACB = угол ACD + угол BCD.
6. Следовательно, угол BCD = угол ACB - угол ACD = 90° - 30° = 60°.
7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Угол BDC = 90°, угол BCD = 60°.
8. Угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.
9. Альтернативно, из подобия треугольников: Треугольник ABC подобен треугольнику ADC. Угол BAC соответствует углу ACD. Угол ABC соответствует углу CAD.
10. В треугольнике ADC: \( ext{cos}( ext{CAD}) = rac{DA}{AC} = rac{4}{8} = rac{1}{2} \). Значит, угол CAD = 60°.
11. В треугольнике ABC: угол BAC = угол CAD = 60°.
12. Угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.
13. Проверка: Если угол B = 30°, то угол BAC = 60°. В прямоугольном треугольнике ADC, \( ext{sin}( ext{BAC}) = rac{CD}{AC} \), \( ext{cos}( ext{BAC}) = rac{AC}{AB} \). \( ext{sin}(60^{ ext{o}}) = rac{ ext{CD}}{8} \), \( ext{CD} = 8 rac{ ext{sqrt}(3)}{2} = 4 ext{sqrt}(3) \). \( ext{cos}(60^{ ext{o}}) = rac{4}{AB} \), \( rac{1}{2} = rac{4}{AB} \), \( AB = 8 \).
14. В прямоугольном треугольнике BDC: \( ext{sin}( ext{B}) = rac{ ext{CD}}{BC} \), \( ext{cos}( ext{B}) = rac{BC}{AB} \). \( ext{sin}(30^{ ext{o}}) = rac{4 ext{sqrt}(3)}{BC} \), \( rac{1}{2} = rac{4 ext{sqrt}(3)}{BC} \), \( BC = 8 ext{sqrt}(3) \).
15. \( ext{cos}(30^{ ext{o}}) = rac{BC}{8} \), \( rac{ ext{sqrt}(3)}{2} = rac{BC}{8} \), \( BC = 4 ext{sqrt}(3) \). Есть противоречие.
16. Вернемся к \( ext{sin}( ext{ACD}) = rac{1}{2} \), угол ACD = 30°.
17. В прямоугольном треугольнике ABC, угол BAC = 90° - угол ABC.
18. В прямоугольном треугольнике ADC, угол CAD = 90° - угол ACD.
19. Из подобия треугольников ABC и ADC, угол ABC = угол ACD.
20. Из подобия треугольников ABC и BDC, угол BAC = угол BCD.
21. В треугольнике ABC, угол ACB = 90°. Угол ACB = угол ACD + угол BCD.
22. В треугольнике ADC: \( ext{cos}( ext{CAD}) = rac{DA}{AC} = rac{4}{8} = rac{1}{2} \). Следовательно, угол CAD = 60°.
23. В прямоугольном треугольнике ABC: угол ABC = 90° - угол BAC.
24. Из подобия ABC ~ ADC, угол ABC = угол ACD.
25. Из подобия ABC ~ BDC, угол BAC = угол BCD.
26. В треугольнике ADC: \( ext{sin}( ext{ACD}) = rac{DA}{AC} = rac{4}{8} = rac{1}{2} \). Следовательно, угол ACD = 30°.
27. Так как угол ACB = 90°, то угол BCD = 90° - 30° = 60°.
28. В прямоугольном треугольнике BDC, угол B = 90° - угол BCD = 90° - 60° = 30°.

Ответ: 30