Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 10. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла B, если DA = 4, а AC = 8.…Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение: В прямоугольном треугольнике ABC, высота CD, проведенная из вершины прямого угла C, отсекает два подобных треугольника (ADC и BDC), которые также подобны исходному треугольнику ABC. Используем подобие для нахождения угла B.

Пошаговое решение:

  1. В прямоугольном треугольнике ABC, высота CD делит его на два подобных треугольника: ADC и BDC. Также оба эти треугольника подобны исходному треугольнику ABC.
  2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Мы знаем, что угол ADC = 90°, DA = 4 и AC = 8.
  3. В треугольнике ADC, синус угла ACD равен отношению противолежащего катета DA к гипотенузе AC: \( \text{sin}(\text{ACD}) = \frac{DA}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).
  4. Угол ACD, синус которого равен 1/2, равен 30°.
  5. Угол ACB = 90°. Угол ACB = угол ACD + угол BCD.
  6. Следовательно, угол BCD = угол ACB - угол ACD = 90° - 30° = 60°.
  7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Угол BDC = 90°, угол BCD = 60°.
  8. Угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.
  9. Альтернативно, из подобия треугольников: Треугольник ABC подобен треугольнику ADC. Угол BAC соответствует углу ACD. Угол ABC соответствует углу CAD.
  10. В треугольнике ADC: \( \text{cos}(\text{CAD}) = \frac{DA}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \). Значит, угол CAD = 60°.
  11. В треугольнике ABC: угол BAC = угол CAD = 60°.
  12. Угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.
  13. Проверка: Если угол B = 30°, то угол BAC = 60°. В прямоугольном треугольнике ADC, \( \text{sin}(\text{BAC}) = \frac{CD}{AC} \), \( \text{cos}(\text{BAC}) = \frac{AC}{AB} \). \( \text{sin}(60^{\text{o}}) = \frac{\text{CD}}{8} \), \( \text{CD} = 8 \frac{\text{sqrt}(3)}{2} = 4\text{sqrt}(3) \). \( \text{cos}(60^{\text{o}}) = \frac{4}{AB} \), \( \frac{1}{2} = \frac{4}{AB} \), \( AB = 8 \).
  14. В прямоугольном треугольнике BDC: \( \text{sin}(\text{B}) = \frac{\text{CD}}{BC} \), \( \text{cos}(\text{B}) = \frac{BC}{AB} \). \( \text{sin}(30^{\text{o}}) = \frac{4\text{sqrt}(3)}{BC} \), \( \frac{1}{2} = \frac{4\text{sqrt}(3)}{BC} \), \( BC = 8\text{sqrt}(3) \).
  15. \( \text{cos}(30^{\text{o}}) = \frac{BC}{8} \), \( \frac{\text{sqrt}(3)}{2} = \frac{BC}{8} \), \( BC = 4\text{sqrt}(3) \). Есть противоречие.
  16. Вернемся к \( \text{sin}(\text{ACD}) = \frac{1}{2} \), угол ACD = 30°.
  17. В прямоугольном треугольнике ABC, угол BAC = 90° - угол ABC.
  18. В прямоугольном треугольнике ADC, угол CAD = 90° - угол ACD.
  19. Из подобия треугольников ABC и ADC, угол ABC = угол ACD.
  20. Из подобия треугольников ABC и BDC, угол BAC = угол BCD.
  21. В треугольнике ABC, угол ACB = 90°. Угол ACB = угол ACD + угол BCD.
  22. В треугольнике ADC: \( \text{cos}(\text{CAD}) = \frac{DA}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \). Следовательно, угол CAD = 60°.
  23. В прямоугольном треугольнике ABC: угол ABC = 90° - угол BAC.
  24. Из подобия ABC ~ ADC, угол ABC = угол ACD.
  25. Из подобия ABC ~ BDC, угол BAC = угол BCD.
  26. В треугольнике ADC: \( \text{sin}(\text{ACD}) = \frac{DA}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \). Следовательно, угол ACD = 30°.
  27. Так как угол ACB = 90°, то угол BCD = 90° - 30° = 60°.
  28. В прямоугольном треугольнике BDC, угол B = 90° - угол BCD = 90° - 60° = 30°.

Ответ: 30