10. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, A равна 5. Найдите длину стороны AC. Запишите решение и ответ.

Давайте решим эту задачу аналогично предыдущей. 1. **Понимание задачи:** У нас есть равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Угол B равен 120°. Высота, проведенная из вершины A, равна 5. Обозначим основание этой высоты как H на стороне BC. Нам нужно найти длину стороны AC. 2. **Углы треугольника ABC:** Аналогично предыдущему примеру, углы BAC и BCA равны и составляют по 30°. \[\angle BAC = \angle BCA = 30^circ\] 3. **Рассматриваем треугольник ABH:** Треугольник ABH прямоугольный с прямым углом при H. Угол BAH равен 30°. AH = 5. Сторона AB является гипотенузой. Используем тригонометрию. \[\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}\] Так как \(\angle ABH = 30^circ\), а противолежащая сторона AH=5 \[\sin(30^circ) = \frac{5}{AB}\] \[\frac{1}{2} = \frac{5}{AB}\] \[AB = 5 \cdot 2 = 10\] Также, мы знаем, что \(\cos(30^circ) = \frac{BH}{AB}\) \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BH}{10}\] \[BH = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\] 4. **Ищем сторону BC:** Поскольку треугольник равнобедренный, то CH = BH, значит BC = 2*BH. \[BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\] 5. **Ищем сторону AC:** Теперь у нас есть треугольник ABC. Найдём сторону АС по теореме косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * \cos(\angle ABC)\] \[AC^2 = 10^2 + (10\sqrt{3})^2 - 2 * 10 * 10\sqrt{3} * \cos(120^circ)\] \[AC^2 = 100 + 300 - 200\sqrt{3} * (-0.5)\] \[AC^2 = 400 + 100\sqrt{3}\] \[AC^2 = 573.2] \[AC = \sqrt{573.2} = 23.94\] **Ответ:** Длина стороны AC приближенно равна 23.94.