9. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, A равна 7. Найдите длину стороны AC. Запишите решение и ответ.

Давайте разберемся с этой задачей. 1. **Понимание задачи:** У нас есть равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Угол B равен 120°. Высота, проведенная из вершины A, равна 7. Обозначим основание этой высоты как точку H на стороне BC. Нам нужно найти длину стороны AC. 2. **Работаем с углом:** Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, углы BAC и BCA равны. Сумма углов треугольника равна 180°. \[\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^circ\] \[2 \cdot \angle BAC + 120^circ = 180^circ\] \[2 \cdot \angle BAC = 180^circ - 120^circ\] \[2 \cdot \angle BAC = 60^circ\] \[\angle BAC = \frac{60^circ}{2} = 30^circ\] Значит, \(\angle BAC = \angle BCA = 30^circ\). 3. **Рассматриваем треугольник ABH:** Высота AH перпендикулярна стороне BC, и треугольник ABH является прямоугольным с прямым углом при H. Угол BAH равен 30 градусов. AH = 7. Сторона AB является гипотенузой, а BH - катет. Используем тригонометрию. \[\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}\] Так как \(\angle ABH = 30^circ\), а противолежащая сторона AH=7 \[\sin(30^circ) = \frac{7}{AB}\] \[\frac{1}{2} = \frac{7}{AB}\] \[AB = 7 \cdot 2 = 14\] Также, мы знаем, что \(\cos(30^circ) = \frac{BH}{AB}\) \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BH}{14}\] \[BH = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}\] 4. **Ищем сторону BC:** Поскольку треугольник равнобедренный, то CH = BH, значит BC = 2*BH. \[BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3}\] 5. **Ищем сторону AC:** Теперь у нас есть треугольник ABC. Найдём сторону АС по теореме косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * \cos(\angle ABC)\] \[AC^2 = 14^2 + (14\sqrt{3})^2 - 2 * 14 * 14\sqrt{3} * \cos(120^circ)\] \[AC^2 = 196 + 588 - 392\sqrt{3} * (-0.5)\] \[AC^2 = 784 + 196\sqrt{3}\] \[AC^2 = 1123.3] \[AC = \sqrt{1123.3} = 33.5\] **Ответ:** Длина стороны AC приближенно равна 33.5.