11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, A равна 9. Найдите длину стороны AC. Запишите решение и ответ.

И снова решим задачу по тому же принципу. 1. **Понимание задачи:** У нас равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Угол B = 120°. Высота из вершины A равна 9. Обозначим основание высоты как H на стороне BC. Нужно найти длину AC. 2. **Углы треугольника ABC:** Углы BAC и BCA равны 30°. \[\angle BAC = \angle BCA = 30^circ\] 3. **Треугольник ABH:** Прямоугольный треугольник с прямым углом при H. Угол BAH равен 30°. AH = 9. \[\sin(30^circ) = \frac{AH}{AB}\] \[\frac{1}{2} = \frac{9}{AB}\] \[AB = 9 \cdot 2 = 18\] \[\cos(30^circ) = \frac{BH}{AB}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BH}{18}\] \[BH = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\] 4. **Ищем сторону BC:** Так как треугольник ABC равнобедренный, то CH = BH, BC = 2*BH \[BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\] 5. **Ищем сторону AC:** Используем теорему косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * \cos(\angle ABC)\] \[AC^2 = 18^2 + (18\sqrt{3})^2 - 2 * 18 * 18\sqrt{3} * \cos(120^circ)\] \[AC^2 = 324 + 972 - 648\sqrt{3} * (-0.5)\] \[AC^2 = 1296 + 324\sqrt{3}\] \[AC^2 = 1858.2] \[AC = \sqrt{1858.2} = 43.1] **Ответ:** Длина стороны AC приближенно равна 43.1.