10. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC — биссектриса угла A. Средняя линия пересекает AC и разделена ею на отрезки 8 и 10. Найдите периметр ABCD.

Диагональ делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований: отрезок со стороны верхнего основания BC равен 8, а со стороны нижнего основания AD — 10.

1. Находим основания: \(BC=2\cdot8=16\), \(AD=2\cdot10=20\).
2. Так как \(BC\parallel AD\), углы \(\angle ACB\) и \(\angle CAD\) равны. По условию \(AC\) — биссектриса угла A, значит \(\angle BAC=\angle CAD\). Следовательно, \(\angle BAC=\angle ACB\), поэтому в треугольнике ABC \(AB=BC=16\).
3. Трапеция равнобедренная, значит \(CD=AB=16\).
4. Периметр: \(P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=16+16+16+20=68\).

Ответ: 68.