10. Возможно ли, чтобы у многогранника нашлась грань, являющаяся многоугольником с числом сторон, большим, чем число граней у многогранника?

Да. У пирамиды с n-угольным основанием всего n + 1 грань, поэтому основание не имеет больше сторон, чем число граней. Но у многогранника можно взять одну грань с большим числом сторон, а остальные грани устроить так, чтобы их было меньше этого числа: например, у двусторонней пирамидальной конструкции с n-угольной гранью число граней всё равно должно быть не меньше n в обычном выпуклом многограннике. По формуле Эйлера и подсчёту рёбер такая ситуация невозможна для выпуклого многогранника: если грань имеет k сторон, то E ≥ k, а каждая грань имеет не менее 3 сторон, откуда 2E ≥ 3F; это не даёт k ≤ F. Однако можно построить невыпуклый многогранник с большой гранью и малым числом граней.

Ответ: да, если допускаются невыпуклые многогранники; для выпуклого многогранника — нет.