9. Куб — это шестигранник, у которого имеется 8 вершин и 12 рёбер. Все грани куба — четырёхугольники. Придумайте, если это возможно, другой шестигранник, у которого в вершинах и рёбрах есть такие же числа, но грани не равны четырём. Возможен ли шестигранник, у которого в вершинах и рёбрах такие же числа — треугольник, а две оставшиеся — шестиугольники?

По формуле Эйлера для выпуклого многогранника при V = 8 и E = 12 число граней F равно 6.

Сумма числа сторон всех граней равна 2E = 24. Если одна грань — треугольник, а две — шестиугольники, то на остальные три грани остаётся 24 − 3 − 6 − 6 = 9 сторон. Каждая из трёх граней имеет не менее 3 сторон, значит все три должны быть треугольниками. Такой набор граней реализуется треугольной бипирамидой, у которой, однако, только 5 вершин; поэтому при восьми вершинах данный набор невозможен.

Другой многогранник с 8 вершинами и 12 рёбрами, но не всеми четырёхугольными гранями, получить можно: например, треугольная призма имеет 6 вершин, а не 8, поэтому она не подходит. Пример для 8 вершин — многогранник с двумя пятиугольными основаниями и соединяющими рёбрами (пятиугольная призма) имеет 10 вершин и 15 рёбер, тоже не подходит. Для заданных чисел существование такого многогранника зависит от типа многогранника; без дополнительного ограничения на форму требуется конкретная конструкция.

Ответ: указанное сочетание двух шестиугольных и четырёх треугольных граней при 8 вершинах невозможно; первая часть требует уточнения или рисунка/условия о допустимых многогранниках.