8. Докажите, что существует многогранник с любым числом рёбер, большим 5 и не равным 7.

Рассмотрим два семейства: пирамиды с n-угольным основанием имеют 2n рёбер, а призмы с n-угольным основанием — 3n рёбер.

Для любого чётного числа m ≥ 6 возьмём пирамиду с m/2-угольным основанием. У неё m рёбер.

Для любого нечётного числа m ≥ 9 возьмём призму с (m/3)-угольным основанием: число m нечётное и делится на 3, значит m/3 — целое нечётное число не меньше 3. У такой призмы m рёбер.

Оставшееся нечётное число, не делящееся на 3, можно получить из призмы с n-угольным основанием, добавив к одной грани пирамиду с тем же основанием: это увеличивает число рёбер на n, так что получается 4n. Для общего доказательства удобнее воспользоваться пирамидой и призмообразными конструкциями; данное условие, однако, неверно для числа 11: многогранника с 11 рёбрами не существует, поскольку для многогранника V − E + F = 2 и каждая грань имеет не менее 3 сторон, откуда E ≤ 3V − 6, а также E ≥ 3V/2, но эти оценки сами по себе не исключают 11.

Контрпример — число 11 в действительности реализуемо: пятиугольная пирамида имеет 10 рёбер, а добавление вершины на грани с разбиением грани увеличивает число рёбер на 2, получая 12. Без отдельной конструкции для каждого числа исходное утверждение требует уточнения; приведённое условие недостаточно для заявленного доказательства.