3. Сколько рёбер может иметь многогранник с пятью вершинами?

У каждой вершины многогранника сходятся не менее трёх рёбер, поэтому сумма степеней пяти вершин не меньше 15. Эта сумма равна удвоенному числу рёбер, следовательно, число рёбер не меньше 8. По формуле Эйлера для выпуклого многогранника: V − E + F = 2. При V = 5 и F ≥ 5 получаем E = F + 3 ≥ 8. Возможны значения E = 8, 9 или 10: например, у треугольной бипирамиды 9 рёбер, у четырёхугольной пирамиды 8, у треугольной призмы 9 — однако у призмы шесть вершин; пример с 10 рёбрами — пятиугольная пирамида, у которой шесть вершин, поэтому для пяти вершин значение 10 невозможно. Перебор выпуклых многогранников с пятью вершинами даёт 8 или 9 рёбер.

Ответ: 8 или 9 рёбер.