10. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, а диагональ AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то BM ⟂ AD. Точка M лежит на продолжении AD, поэтому ∠AMB = 90°. Угол между BM и AB равен 30°, следовательно, в прямоугольном треугольнике ABM ∠BAM = 60°.

Обозначим сторону ромба через a. Тогда AB = AD = a, а AM = AB + DM? Поскольку M находится на продолжении AD за точку D, в треугольнике ABM сторона AM является гипотенузой, а AB — катетом. Из ∠BAM = 60° получаем AB = AM · cos 60° и потому AM = 2a.

Диагональ AC делит угол A ромба пополам. Угол DAB равен 120°, поэтому ∠CAB = 60°. В треугольнике ABC стороны AB = BC = a и угол между ними равен 120°; по теореме косинусов AC² = a² + a² − 2a² cos 120° = 3a². Значит, AC = a√3 = 6 и a = 2√3 см.

Тогда AM = 2a = 4√3 см.

Ответ: 4√3 см.