10. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то \(BM\perp AD\), и треугольник ABM прямоугольный. Его угол при B равен 30°, а гипотенуза AB — сторона ромба. Следовательно, \(AM=\frac{AB}{2}\).

Поскольку M лежит на продолжении AD за точку A, угол ромба A равен 120°: он дополняет угол 30° между AB и перпендикуляром BM до 90°, а сам является смежным с полученным углом 60° между AB и AD.

Для ромба с углом A = 120° диагональ \(AC\) равна стороне: по теореме косинусов \(AC^2=AB^2+AD^2+2\cdot AB\cdot AD\cos120^\circ=AB^2\), поскольку \(AB=AD\). Значит, \(AB=AC=6\) см, и \(AM=6:2=3\) см.

Ответ: AM = 3 см.