101. Докажите, что если векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, то: а) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) не коллинеарны; б) векторы \(2\vec a-\vec b\) и \(\vec a+\vec b\) не коллинеарны; в) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a+3\vec b\) не коллинеарны.

Предположим противное: в каждой паре векторы коллинеарны, то есть один является скалярным множителем другого.

1. а) Пусть \(\vec a+\vec b=t(\vec a-\vec b)\). Тогда \((1-t)\vec a+(1+t)\vec b=\vec 0\). Поскольку \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть нулевыми одновременно: \(1-t=0\) и \(1+t=0\), что невозможно.
2. б) Пусть \(2\vec a-\vec b=t(\vec a+\vec b)\). Тогда \((2-t)\vec a+(-1-t)\vec b=\vec 0\). Необходимы одновременно \(t=2\) и \(t=-1\), что невозможно.
3. в) Пусть \(\vec a+3\vec b=t(\vec a+\vec b)\). Тогда \((1-t)\vec a+(3-t)\vec b=\vec 0\). Необходимы одновременно \(t=1\) и \(t=3\), что невозможно.

Во всех случаях получено противоречие с неколлинеарностью \(\vec a\) и \(\vec b\). Следовательно, указанные пары неколлинеарны.