103. Векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству: а) $3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$; б) $4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=\vec 0$; в) $x\vec a+3\vec b-y\vec b=\vec 0$; г) $\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=\vec 0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 103. Векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству: а) \(3\vec a-x\vec…$ Фото задания

103. Векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству: а) $3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$; б) $4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=\vec 0$; в) $x\vec a+3\vec b-y\vec b=\vec 0$; г) $\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=\vec 0$.

Accepted Answer

Так как $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, равенство их линейной комбинации нулю возможно только при нулевых коэффициентах у обоих векторов.

а) Переносим слагаемые: $(3-y)\vec a-(x+1)\vec b=\vec 0$. Значит, $3-y=0$, $x+1=0$; поэтому $x=-1,\ y=3$.
б) Группируем коэффициенты: $(4-x)\vec a+(5+y)\vec b=\vec 0$. Отсюда $4-x=0$, $5+y=0$; поэтому $x=4,\ y=-5$.
в) Получаем $x\vec a+(3-y)\vec b=\vec 0$. Отсюда $x=0$, $y=3$.
г) Получаем $(1-3y)\vec a+(1+x)\vec b=\vec 0$. Отсюда $1-3y=0$, $1+x=0$; поэтому $x=-1,\ y=\frac13$.

Ответ: а) $x=-1, y=3$; б) $x=4, y=-5$; в) $x=0, y=3$; г) $x=-1, y=\frac13$.