99. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{BD}\); в) \(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{CA}\); г) \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}\); д) \(\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{DA}\); е) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{CA}\); ж) \(\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{AM}\); з) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{CM}\); и) \(\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AC}=\vec p\), \(\overrightarrow{BD}=\vec q\). Тогда \(\overrightarrow{AO}=\frac12\vec p\), \(\overrightarrow{BO}=\frac12\vec q\), а из того, что M — середина AO, \(\overrightarrow{AM}=\frac14\vec p\). Также \(\overrightarrow{OC}=\frac12\vec p\), \(\overrightarrow{CA}=-\vec p\), \(\overrightarrow{CM}=-\frac34\vec p\). В параллелограмме \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}\). Диагонали параллелограмма в общем случае не параллельны.

1. а) \(\vec p=k\frac12\vec p\), значит \(k=2\).
2. б) \(\frac12\vec q=k\vec q\), значит \(k=\frac12\).
3. в) \(\frac12\vec p=k(-\vec p)\), значит \(k=-\frac12\).
4. г) Векторы равны, значит \(k=1\).
5. д) \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}\), значит \(k=-1\).
6. е) \(\frac14\vec p=k(-\vec p)\), значит \(k=-\frac14\).
7. ж) \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=-\frac14\vec p+\vec p=\frac34\vec p\), а \(\overrightarrow{AM}=\frac14\vec p\), поэтому \(k=3\).
8. з) \(\vec p=k(-\frac34\vec p)\), значит \(k=-\frac43\).
9. и) \(\overrightarrow{AO}=\frac12\vec p\) не параллелен \(\vec q=\overrightarrow{BD}\) в общем случае. Поэтому такое число k существует не для всякого параллелограмма; оно возможно только если диагонали параллельны.

Ответ: а) 2; б) \(\frac12\); в) \(-\frac12\); г) 1; д) −1; е) \(-\frac14\); ж) 3; з) \(-\frac43\); и) в общем случае невозможно.