102. Отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольники ABC и CDA равны.

Пусть O — точка пересечения отрезков. Тогда AO = OC и BO = OD. Углы AOB и COD вертикальные, поэтому равны. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AB = CD.

Кроме того, ∠AOB = ∠COD и ∠AOD = ∠COB как вертикальные, а из равенства смежных углов следует, что соответствующие углы при диагоналях дают равные углы ∠BAC и ∠DCA. Вместе с AC — общей стороной и AB = CD получаем равенство треугольников ABC и CDA по трём сторонам: AB = CD, BC = DA (из равенства треугольников при пересечении) и AC — общая.