104. 1*2*3* ... * n ifodada * lar o'rniga " + " va "-" amallarini qo'yib 0 hosil qilish mumkin bo'ladigan 100 dan kichik natural n sonlari nechta?

Решение:

Задача заключается в том, чтобы найти количество натуральных чисел \( n \) (где \( n < 100 \)) таких, что можно расставить знаки '+' и '-' между числами от 1 до \( n \) так, чтобы результат был равен 0.

Рассмотрим сумму \( S = 1 ± 2 ± 3 ± ... ± n \).

Чтобы сумма была равна 0, она должна быть чётной. Сумма всех чисел от 1 до \( n \) равна \( \frac{n(n+1)}{2} \).

Рассмотрим суммы:

• \( n=1 \): \( 1 – 1 = 0 \) (невозможно, так как мы начинаем с 1, а не с 0).
• \( n=2 \): \( 1+2 = 3 \), \( 1-2 = -1 \). Невозможно получить 0.
• \( n=3 \): \( 1+2+3 = 6 \), \( 1+2-3 = 0 \). Возможно.
• \( n=4 \): \( 1+2+3+4 = 10 \), \( 1+2+3-4 = 2 \), \( 1+2-3+4 = 4 \), \( 1-2+3+4 = 6 \). Сумма всех чисел равна 10. Если мы меняем '+' на '-', то сумма меняется на удвоенное значение вычитаемого числа. Чтобы получить 0, нам нужно, чтобы сумма всех чисел была чётной. \( \frac{n(n+1)}{2} \) должно быть чётным.

\( \frac{n(n+1)}{2} \) чётно, когда \( n(n+1) \) делится на 4.

Это происходит, когда \( n \) кратно 4, или \( n+1 \) кратно 4 (то есть \( n \) имеет вид \( 4k \) или \( 4k-1 \)).

Проверим эти случаи:

• \( n=3 \) (вид \( 4k-1 \), \( k=1 \)): \( 1+2-3 = 0 \). Да.
• \( n=4 \) (вид \( 4k \), \( k=1 \)): \( 1+2+3-4 = 2 \). \( 1+2-3+4 = 4 \). \( 1-2+3+4 = 6 \). \( -1+2+3+4 = 8 \). Сумма всех чисел 10. Меняя знаки, мы можем получить 0, если \( \frac{10}{2} \) = 5. Это не так.
• \( n=7 \) (вид \( 4k-1 \), \( k=2 \)): \( \frac{7 \times 8}{2} = 28 \). \( 28/2 = 14 \). Можно ли получить 0? \( 1+2+3+4+5+6-7 = 14 \). \( 1+2+3+4+5-6+7 = 16 \). \( 1+2+3+4-5+6+7 = 18 \). \( 1+2+3-4+5+6+7 = 20 \). \( 1+2-3+4+5+6+7 = 22 \). \( 1-2+3+4+5+6+7 = 24 \). \( -1+2+3+4+5+6+7 = 26 \).

На самом деле, чтобы сумма была равна 0, необходимо, чтобы количество чисел было \( n ≡ 0 ² 3 ¹ \pmod 4 \).

То есть \( n \) может быть вида \( 4k \) или \( 4k-1 \).

\( n=3 \): \( 1+2-3=0 \)

Действительно, если \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \) — сумма чисел от 1 до \( n \), то любая сумма с расставленными знаками '+' и '-' будет иметь ту же чётность, что и \( S_n \). Следовательно, если \( S_n \) нечётно, то получить 0 невозможно.

\( S_n \) чётно, если \( n \) имеет вид \( 4k \) или \( 4k-1 \).

\( n=3 \): \( S_3 = 6 \). \( 1+2-3 = 0 \). Да.

Если \( n \equiv 0 ² 3 ¹ ² \pmod 4 \), то \( S_n \) чётное. Если \( n ≡ 1 ² 2 ¹ ² \pmod 4 \), то \( S_n \) нечётное, и получить 0 невозможно.

Для \( n < 100 \), \( n \) может быть вида \( 4k \) или \( 4k-1 \).

\( n = 3, 4, 7, 8, 11, 12, ..., 99 \).

Проверим \( n=4 \): \( 1+2+3-4 = 2 \). \( 1+2-3+4 = 4 \). \( 1-2+3+4 = 6 \). \( -1+2+3+4 = 8 \).

На самом деле, возможно получить 0, если \( n \equiv 0 \pmod 4 \) или \( n ≡ 3 ¹ \pmod 4 \). Это значит, что \( n \) может быть равно 3, 4, 7, 8, ..., 99.

Числа \( n \) меньшие 100, такие что \( n ≡ 0 ² 3 ¹ ² \pmod 4 \):

\( n=3, 4, 7, 8, 11, 12, ..., 99 \).

Сколько таких чисел? Найдём количество чисел вида \( 4k \) и \( 4k-1 \) до 100.

Для \( 4k \): \( 4k < 100 → k < 25 \). \( k = 1, 2, ..., 24 \) (24 числа).

Для \( 4k-1 \): \( 4k-1 < 100 → 4k < 101 → k < 25.25 \). \( k = 1, 2, ..., 25 \) (25 чисел).

Общее количество таких \( n \) равно \( 24 + 25 = 49 \). Однако, \( n=1 \) не работает. \( 1 \).

\( n=1 – 1 = 0 \) (у нас нет 1, мы начинаем с 1). \( 1 \).

\( n=3 \): \( 1+2-3=0 \). Да.

Сумма \( 1 ± 2 ± ± ... ± n = 0 \) тогда и только тогда, когда \( n ≡ 0 ² 3 ¹ ² \pmod 4 \).

Числа \( n \) < 100:

\( n=3, 4, 7, 8, 11, 12, ..., 99 \).

Количество чисел вида \( 4k \) от 1 до 99: \( 4, 8, ..., 96 \). \( 96 = 4k → k=24 \). 24 числа.

Количество чисел вида \( 4k-1 \) от 1 до 99: \( 3, 7, ..., 99 \). \( 99 = 4k-1 → 100 = 4k → k=25 \). 25 чисел.

Всего \( 24 + 25 = 49 \) чисел.

Ответ: 49