105. 100 ta butun son ko'paytmasi 2 ga teng Bu sonlar yig'indisining qabul qilishi mumkin bo'lgan eng kichik qiymatini toping.

Решение:

У нас есть 100 целых чисел, произведение которых равно 2. Нам нужно найти наименьшее возможное значение суммы этих чисел.

Чтобы произведение 100 целых чисел было равно 2, большинство чисел должны быть равны 1 или -1. Поскольку произведение равно 2 (положительное число), количество множителей -1 должно быть чётным.

Возможны следующие варианты для составления произведения, равного 2:

1. Одно число равно 2, а остальные 99 чисел равны 1.
2. Одно число равно -2, одно число равно -1, а остальные 98 чисел равны 1.
3. Два числа равны -1, одно число равно 2, а остальные 97 равны 1. (Это эквивалентно варианту 1 по сумме).
4. Четыре числа равны -1, одно число равно 2, а остальные 95 равны 1. (Это эквивалентно варианту 1 по сумме).
5. И так далее, чётное количество -1.

Рассмотрим эти варианты для нахождения наименьшей суммы:

1. Вариант 1: одно число = 2, 99 чисел = 1.
   Сумма = \( 2 + 99 \times 1 = 2 + 99 = 101 \).
2. Вариант 2: одно число = -2, одно число = -1, 98 чисел = 1.
   Сумма = \( -2 + (-1) + 98 \times 1 = -3 + 98 = 95 \).
3. Вариант 3: два числа = -1, одно число = 2, 97 чисел = 1.
   Произведение: \( (-1) \times (-1) \times 2 \times 1^{97} = 1 \times 2 = 2 \).
   Сумма = \( (-1) + (-1) + 2 + 97 \times 1 = -2 + 2 + 97 = 97 \).
4. Вариант 4: четыре числа = -1, одно число = 2, 95 чисел = 1.
   Произведение: \( (-1)^4 \times 2 \times 1^{95} = 1 \times 2 = 2 \).
   Сумма = \( 4 \times (-1) + 2 + 95 \times 1 = -4 + 2 + 95 = -2 + 95 = 93 \).

Чтобы минимизировать сумму, мы должны максимизировать количество отрицательных чисел \( -1 \), так как они уменьшают сумму, и при этом произведение остаётся положительным (2).

Пусть у нас \( k \) чисел равны \( -1 \). Тогда \( 100 - k \) чисел равны \( 1 \). Чтобы произведение было равно 2, у нас должно быть одно число 2, и \( k \) чисел \( -1 \), и \( 100 - k - 1 = 99 - k \) чисел \( 1 \). Количество \( -1 \) \( k \) должно быть чётным.

Произведение: \( (-1)^k \times 2 \times 1^{99-k} = 2 \).

Сумма: \( k \times (-1) + 2 + (99-k) \times 1 = -k + 2 + 99 - k = 101 - 2k \).

Чтобы минимизировать сумму \( 101 - 2k \), нужно максимизировать \( k \). Максимальное возможное \( k \) (чётное) такое, что \( k < 99 \) (так как одно число равно 2). Максимальное чётное \( k \) равно 98.

Если \( k = 98 \), то у нас 98 чисел равны \( -1 \), одно число равно 2, и \( 99 - 98 = 1 \) число равно 1.

Проверка произведения: \( (-1)^{98} \times 2 \times 1^1 = 1 \times 2 \times 1 = 2 \). Верно.

Сумма: \( 98 \times (-1) + 2 + 1 \times 1 = -98 + 2 + 1 = -95 \).

Ответ: -95