105. O — точка пересечения биссектрис углов A и B трапеции ABCD (рис. 30). Доказать, что ∠AOB = 90°.

Так как основания трапеции параллельны, углы A и B, прилежащие к боковой стороне AB, в сумме равны 180°.

По условию AO и BO — биссектрисы этих углов, поэтому в треугольнике AOB:

\(\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A\), \(\angle ABO=\frac{1}{2}\angle B\).

Следовательно, \(\angle OAB+\angle ABO=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=90^\circ\). Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \(\angle AOB=90^\circ\).

Ответ: \(\angle AOB=90^\circ\).