107. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найти углы трапеции.

Пусть меньшее основание и боковая сторона равны \(b\), высота трапеции равна \(h\), а проекция каждой боковой стороны на большее основание — \(x\). Тогда большее основание равно \(b+2x\).

1. Из перпендикулярности диагонали и боковой стороны получаем \(h^2=x(b+x)\): их горизонтальные проекции равны соответственно \(b+x\) и \(x\), а вертикальные — \(h\) и \(-h\).

2. По теореме Пифагора для боковой стороны длины \(b\): \(b^2=x^2+h^2\). Подставляя выражение для \(h^2\), получаем \(b^2=x^2+x(b+x)=2x^2+bx\).

3. Разделим на \(b^2\) и обозначим \(t=x/b\). Тогда \(2t^2+t-1=0\), откуда положительное значение \(t=\frac12\). Значит, \(x=\frac b2\), а \(h^2=x(b+x)=\frac34b^2\), то есть \(h=\frac{\sqrt3}{2}b\).

4. Для острого угла при большем основании \(\tan\alpha=h/x=\sqrt3\), поэтому \(\alpha=60^\circ\). Углы при меньшем основании смежные с ними и равны \(120^\circ\).

Ответ: углы трапеции — \(60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ\).