41. В прямоугольнике ABCD точка K — середина стороны AB, угол CKD равен 90°. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 36 см.

Обозначим \(AB=w\), \(AD=h\). Расположим прямоугольник координатами: \(A(0,0)\), \(B(w,0)\), \(C(w,h)\), \(D(0,h)\). Так как K — середина AB, \(K(w/2,0)\).

Векторы \(KC=(w/2,h)\) и \(KD=(-w/2,h)\). Условие \(\angle CKD=90^\circ\) означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\(\frac{w}{2}\cdot\left(-\frac{w}{2}\right)+h^2=0\), откуда \(w=2h\).

Из периметра \(2(w+h)=36\) получаем \(w+h=18\). Подставляем \(w=2h\): \(3h=18\), значит, \(h=6\) см и \(w=12\) см.

Ответ: стороны прямоугольника — 12 см и 6 см.