1057. В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ∠A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки AE, EC, BC.

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: ∠B = ∠C = (180° − 30°) / 2 = 75°. Здесь E — основание высоты из B на AC, D — основание высоты из A на BC.

В прямоугольном треугольнике ABE: BE = AB · sin 30° = b/2, AE = AB · cos 30° = √3b/2.

Поскольку AC = b, получаем EC = AC − AE = b − √3b/2 = (2 − √3)b/2.

В прямоугольном треугольнике ABD: AD = AB · sin 75° = b(√6 + √2)/4. Основание высоты в равнобедренном треугольнике является серединой основания, поэтому BC = 2 · AB · cos 75° = b(√6 − √2)/2.

Ответ: BE = b/2, AD = b(√6 + √2)/4, AE = √3b/2, EC = (2 − √3)b/2, BC = b(√6 − √2)/2.