1064 1) log₃ \( \frac{9}{\sqrt{3}} \) + log₆ \( \sqrt[5]{36} \); 2) 16^0,5 log₄ 10 + 1.

Решение:

1) log₃ \( \frac{9}{\sqrt{3}} \) + log₆ \( \sqrt[5]{36} \)

Упростим первый логарифм:

\( \log_3 \frac{9}{\sqrt{3}} = \log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{1}{2}}} = \log_3 3^{2 - \frac{1}{2}} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \).

Упростим второй логарифм:

\( \log_6 \sqrt[5]{36} = \log_6 36^{\frac{1}{5}} = \log_6 (6^2)^{\frac{1}{5}} = \log_6 6^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5} \).

Теперь сложим результаты:

\( \frac{3}{2} + \frac{2}{5} = \frac{15 + 4}{10} = \frac{19}{10} = 1.9 \).

2) 16^0,5 log₄ 10 + 1

Упростим \( 16^{0,5} \): \( 16^{0,5} = \sqrt{16} = 4 \).

Теперь подставим в выражение:

\( 4 · \log_4 10 + 1 \).

Используем свойство логарифма \( a · \log_a b = \log_a b^a \) (в данном случае \( a=4 \), \( b=10 \), но \( \log_4 10 \) не упрощается до целого числа, поэтому используем свойство \( m · \log_a b = \log_a b^m \) ):

\( \log_4 10^4 + 1 = \log_4 10000 + 1 \).

Найдём \( \log_4 10000 \). Так как \( 4^5 = 1024 \) и \( 4^6 = 4096 \), \( 4^7 = 16384 \), то \( \log_4 10000 \) не является целым числом. Это указывает на возможную ошибку в условии задачи.

Если предположить, что вместо \( \log_4 10 \) должно быть \( \log_4 16 \) или \( \log_4 256 \), то:

Если \( \log_4 16 \): \( 4 · 2 + 1 = 8 + 1 = 9 \).

Если \( \log_4 256 \): \( 4 · 4 + 1 = 16 + 1 = 17 \).

Без уточнения условия, точное решение второй части невозможно.

Ответ: 1) 1,9; 2) Требуется уточнение условия задачи.