1065. а) Решите уравнение $\log_{\frac12}\left(\sin\left(\frac\pi2-x\right)+0{,}5\sin 2x-2\cos^3x+2\right)=-1$. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2};\ [числовые данные обрезаны]\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1065. а) Решите уравнение $\log_{\frac12}\left(\sin\left(\frac\pi2-x\right)+0{,}5\sin 2x-2\cos^3x+2\right)=-1$. б)…$ Фото задания

1065. а) Решите уравнение $\log_{\frac12}\left(\sin\left(\frac\pi2-x\right)+0{,}5\sin 2x-2\cos^3x+2\right)=-1$. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2};\ [числовые данные обрезаны]\right]$.

Accepted Answer

а) По определению логарифма аргумент равен $2$:

$\cos x+\sin x\cos x-2\cos^3x+2=2$.

Перенесём 2 и вынесем $\cos x$:

$\cos x(1+\sin x-2\cos^2x)=0$.

Используя $\cos^2x=1-\sin^2x$, получаем $\cos x(2\sin x-1)(\sin x+1)=0$. Поэтому $\cos x=0$ или $\sin x=\frac12$. Решения, включая повторяющиеся, можно записать так:

$x=\frac\pi2+\pi k$, либо $x=\frac\pi6+2\pi k$, либо $x=\frac{5\pi}6+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.

б) Правая граница отрезка на фотографии обрезана, поэтому определить, какие из найденных корней входят в заданный отрезок, нельзя. Пришлите изображение с полной записью интервала.

Ответ: а) $x=\frac\pi2+\pi k$, $x=\frac\pi6+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi}6+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; б) для отбора корней не хватает правой границы отрезка.