1069. а) Решите уравнение \(\frac{8\cos^2x-6\cos x-5}{\sqrt{-9\sin x}}=0\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-6\pi; -\frac{9\pi}{2}]\).

а) Для существования знаменателя необходимо \(-9\sin x>0\), то есть \(\sin x<0\). Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

\(8\cos^2x-6\cos x-5=0\).

Решая квадратное уравнение относительно \(\cos x\), получаем \(\cos x=\frac54\) или \(\cos x=-\frac12\). Первое значение невозможно. Условие \(\sin x<0\) оставляет решения \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Проверяем целые значения \(k\) на отрезке: при \(k=-3\) получаем \(x=-\frac{14\pi}{3}\), и это значение принадлежит заданному отрезку.

Ответ: а) \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{14\pi}{3}\).