1066. а) Решите уравнение \(\log_{0,5}(\sin^2x+3\cos x+4)=0\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right]\).

а) Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1:

\(\sin^2x+3\cos x+4=1\).

Положим \(c=\cos x\) и используем \(\sin^2x=1-c^2\):

\(1-c^2+3c+4=1\), откуда \(c^2-3c-3=0\).

Решая квадратное уравнение, получаем \(c=\frac{3\pm\sqrt{21}}2\). Значение \(\frac{3+\sqrt{21}}2\) больше 1 и не может быть косинусом. Обозначив \(\alpha=\arccos\left(\frac{3-\sqrt{21}}2\right)\), записываем все решения: \(x=2\pi k\pm\alpha\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-\frac\pi2;\frac\pi2]\) косинус неотрицателен, а требуемое значение косинуса отрицательно. Следовательно, решений на этом отрезке нет.

Ответ: а) \(x=2\pi k\pm\arccos\left(\frac{3-\sqrt{21}}2\right)\), \(k\in\mathbb Z\); б) корней на заданном отрезке нет.