1067. а) Решите уравнение \(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac\pi6-x\right)}=- g x-\sqrt3\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\frac{3\pi}{2};0\right)\).

а) Область допустимых значений: \(\cos x\ne0\) и \(\sin(\frac\pi6-x)\ne0\). При \(t= g x\) имеем \(\sin(\frac\pi6-x)=\frac{\cos x-\sqrt3\sin x}{2}\). Уравнение принимает вид:

\(\frac{2t}{1-\sqrt3t}=-t-\sqrt3\).

Знаменатель не равен нулю по ОДЗ. Умножая на него и упрощая, получаем \(t^2=1\). Значения \(t=1\) и \(t=-1\) допустимы, поэтому \(x=\frac\pi4+\pi k\) или \(x=-\frac\pi4+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Отбирая решения из промежутка \((-\frac{3\pi}{2};0)\), получаем \(-\frac{5\pi}{4}\), \(-\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac\pi4\).

Ответ: а) \(x=\frac\pi4+\pi k\) или \(x=-\frac\pi4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac\pi4\).