1068. а) Решите уравнение \(\frac{\sin x}{\cos\left(\frac\pi3+x\right)}=-\ctg x-\sqrt3\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\frac{3\pi}{2};0\right)\).

а) Область допустимых значений: \(\sin x\ne0\) и \(\cos(\frac\pi3+x)\ne0\). Положим \(t= g x\). Так как \(\cos(\frac\pi3+x)=\frac{\cos x-\sqrt3\sin x}{2}\), уравнение преобразуется к виду:

\(\frac{2t}{1-\sqrt3t}=-\frac1t-\sqrt3\).

Умножаем на ненулевые по ОДЗ знаменатели и упрощаем: \(2t^2=-(1-3t^2)\), откуда \(t^2=1\). Оба значения \(t=\pm1\) удовлетворяют ОДЗ. Значит, \(x=\frac\pi4+\pi k\) или \(x=-\frac\pi4+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) В заданный промежуток входят \(-\frac{5\pi}{4}\), \(-\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac\pi4\).

Ответ: а) \(x=\frac\pi4+\pi k\) или \(x=-\frac\pi4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac\pi4\).