108. Докажите, что если $A$, $B$ и $C$ — углы треугольника, то $\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 108. Докажите, что если $A$, $B$ и $C$ — углы треугольника, то $\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Сумма углов треугольника равна $\pi$, поэтому $A+B+C=\pi$, откуда $A+B=\pi-C$.

Подставим это равенство в левую часть и применим формулу $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$:

\[\sin\frac{A+B}{2}=\sin\frac{\pi-C}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)=\cos\frac{C}{2}.\]

Следовательно, требуемое равенство доказано.

108. Докажите, что если \(A\), \(B\) и \(C\) — углы треугольника, то \(\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}\).