108. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 75, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 9√69. Найдите sin∠ABC.

Так как AC — катет, противоположный углу B, sin∠ABC = AC/AB. Обозначим AB = c, а BC = b.

Площадь выразим через катеты и через гипотенузу с высотой: AC · BC / 2 = AB · CH / 2. Поэтому 75b = 9√69 · c, то есть b/c = 3√69/25.

По теореме Пифагора: c² = 75² + b². Следовательно, (b/c)² = 1 − (75/c)². Подставляя b/c = 3√69/25, получаем (75/c)² = 1 − 621/625 = 4/625, откуда 75/c = 2/25 и c = 937.5.

Тогда sin∠ABC = 75/937.5 = 2/25.

Ответ: 2/25.