108. В тетраэдре DABC биссектрисы трёх углов при вершине D пересекают отрезки BC, CA и AB соответственно в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Рассмотрим треугольник DBC. По теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{BA_1}{A_1C}=\dfrac{DB}{DC}\).

Рассмотрим треугольник DCA:

\(\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{DC}{DA}\).

Рассмотрим треугольник DAB:

\(\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{DA}{DB}\).

Перемножим равенства:

\[\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}\cdot\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{DB}{DC}\cdot\frac{DC}{DA}\cdot\frac{DA}{DB}=1.\]

По обратной теореме Чевы в треугольнике ABC прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Ответ: отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ конкурентны.