11. (1 балл) Основания трапеции равны 6 и 18, боковая сторона, равная 5, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Пусть основания трапеции \( a = 18 \) и \( b = 6 \). Боковая сторона \( c = 5 \). Угол между боковой стороной и большим основанием \( \alpha = 150^{\circ} \).
2. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.
3. Чтобы найти высоту, опустим перпендикуляр из вершины тупого угла на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник.
4. Угол, смежный с данным углом \( 150^{\circ} \), равен \( 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
5. Высота \( h \) в этом прямоугольном треугольнике является катетом, противолежащим углу \( 30^{\circ} \).
6. Высоту можно найти как \( h = c \cdot \sin(30^{\circ}) \).
7. \( h = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \).
8. Теперь найдем площадь трапеции: \( S = \frac{18+6}{2} \cdot 2.5 = \frac{24}{2} \cdot 2.5 = 12 \cdot 2.5 = 30 \).

Ответ: 30