11.152. Известно, что прямая y = −3/4 x − 3/32 является касательной к линии, заданной уравнением y = 0,5x⁴ − x. Найти координаты точки касания.

Угловой коэффициент касательной равен −3/4. Для функции y = 0,5x⁴ − x производная равна y′ = 2x³ − 1.

Приравняем производную угловому коэффициенту прямой: 2x³ − 1 = −3/4, поэтому x³ = 1/8 и x = 1/2.

Вычислим ординату точки на кривой: y = 0,5 · (1/2)⁴ − 1/2 = 1/32 − 16/32 = −15/32.

Проверка по уравнению прямой: −3/4 · 1/2 − 3/32 = −15/32.

Ответ: (1/2; −15/32).