11) \(2^{2^{x^2}}-(2^3+2^0)\cdot2^{x^2+2x}+2^{11+4x}=0\)

В записи первый показатель читается как \(2^{x^2}\), то есть первый член — \(2^{(2^{x^2})}\). Поскольку \(2^3+2^0=9\), положим \(t=2^{x^2}>0\). Тогда \(2^{x^2+2x}=t\cdot2^{2x}\), а \(2^{11+4x}=2048\cdot(2^{2x})^2\). Обозначим \(s=2^{2x}>0\). Уравнение становится \(2^t-9ts+2048s^2=0\).

Для любого \(s>0\) минимальное значение выражения \(2048s^2-9ts+2^t\) достигается при \(s=\frac{9t}{4096}\); это значение равно \(2^t-\frac{81t^2}{8192}\). Покажем, что оно положительно: при \(t>0\) функция \(2^t/t^2\) достигает минимума при \(t=2/\ln2\", где её значение равно \(e^2(\ln2)^2/4>81/8192\). Следовательно, \(2^t>81t^2/8192\), а значит, исходное выражение строго положительно.

Поэтому действительных корней нет.

Ответ: решений нет.