13) $(2-\sqrt3)^x+(2+\sqrt3)^x-4=0$

Question

Вопрос: $Фото задания: 13) $(2-\sqrt3)^x+(2+\sqrt3)^x-4=0$$ Фото задания

Accepted Answer

Заметим, что $(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$. Обозначим $a=2+\sqrt3>1$; тогда $2-\sqrt3=1/a$. Уравнение принимает вид $a^x+a^{-x}=4$.

Положим $y=a^x>0$. Получаем $y+1/y=4$, или $y^2-4y+1=0$. Отсюда $y=2\pm\sqrt3$. Так как $a=2+\sqrt3$, решения для $x$ равны $1$ и $-1$.

Ответ: $x=-1$ или $x=1$.

13) \((2-\sqrt3)^x+(2+\sqrt3)^x-4=0\)