11. Даны длины 8, 10, 12 см. Найдите x̄, D и σ исходного набора. Затем определите эти характеристики: а) если к каждой длине прибавить 3 см; б) если каждую исходную длину увеличить в 2 раза. Объясните изменение характеристик через отклонения.

Исходный набор. Среднее: \(\bar{x}=(8+10+12)/3=10\) см. Отклонения от среднего: \(-2,0,2\) см. Дисперсия и стандартное отклонение: \(D=((-2)^2+0^2+2^2)/3=8/3\) см², \(\sigma=\sqrt{8/3}\) см.

а) Прибавляем 3 см. Получаем 11, 13, 15 см. Среднее увеличивается на 3 см: \(\bar{x}=13\) см. Отклонения от нового среднего остаются \(-2,0,2\) см, поэтому \(D=8/3\) см² и \(\sigma=\sqrt{8/3}\) см.

б) Увеличиваем каждую длину в 2 раза. Получаем 16, 20, 24 см. Среднее также умножается на 2: \(\bar{x}=20\) см. Каждое отклонение умножается на 2, поэтому дисперсия умножается на \(2^2=4\), а стандартное отклонение — на 2: \(D=32/3\) см², \(\sigma=2\sqrt{8/3}\) см.

Ответ: исходный набор — \(\bar{x}=10\) см, \(D=8/3\) см², \(\sigma=\sqrt{8/3}\) см; а) \(13\) см, \(8/3\) см², \(\sqrt{8/3}\) см; б) \(20\) см, \(32/3\) см², \(2\sqrt{8/3}\) см.