9. Независимо бросают симметричную монету и правильный кубик. A — выпал орёл, B — на кубике выпало число, кратное 3. Найдите P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B). Являются ли события совместимыми? Независимыми? Обоснуйте оба ответа.

У монеты два равновероятных исхода, а на кубике кратные 3 числа — 3 и 6 из шести возможных.

\(P(A)=\frac{1}{2}\), \(P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

Так как броски независимы, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\).

По формуле сложения вероятностей \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\).

События совместимы, поскольку их пересечение имеет ненулевую вероятность. Они независимы, поскольку \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

Ответ: \(P(A)=\frac{1}{2}\), \(P(B)=\frac{1}{3}\), \(P(A\cap B)=\frac{1}{6}\), \(P(A\cup B)=\frac{2}{3}\); события совместимы и независимы.