8. В коробке 4 белых и 2 чёрных шара. Дважды извлекают по одному шару. а) Найдите вероятность двух белых шаров без возвращения. b) Найдите условную вероятность второго белого, если первый белый. c) Найдите вероятность двух белых, если первый шар возвращают и коробку перемешивают. d) Сравните зависимость событий в двух опытах.

Обозначим через \(W_1\) и \(W_2\) события, что белыми оказались первый и второй шары.

1. Без возвращения после извлечения первого белого остаются 3 белых шара из 5. Поэтому \(P(W_1\cap W_2)=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\).

2. При условии, что первый шар белый и его не возвращают, вероятность белого второго шара равна \(P(W_2\mid W_1)=\frac{3}{5}\).

3. Если первый шар возвращают, состав коробки перед вторым извлечением не меняется. Извлечения независимы, поэтому \(P(W_1\cap W_2)=\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac{4}{9}\).

4. Без возвращения результат первого извлечения меняет состав коробки, поэтому события зависимы. С возвращением состав коробки восстанавливается, поэтому извлечения независимы.

Ответ: а) \(\frac{2}{5}\); б) \(\frac{3}{5}\); в) \(\frac{4}{9}\). Без возвращения события зависимы, с возвращением — независимы.