11. Докажите, что при любом целом значении x значение дроби [x²(x² + 6) + 9] / (x² + 3) является натуральным числом.

Преобразуем числитель, выделив квадрат суммы:

\(x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9=(x^2+3)^2\).

Тогда \(\frac{x^2(x^2+6)+9}{x^2+3}=\frac{(x^2+3)^2}{x^2+3}=x^2+3\). Знаменатель не равен нулю, поскольку \(x^2+3\geq3\). При целом x число \(x^2\) — целое неотрицательное, следовательно, \(x^2+3\) — натуральное число.

Таким образом, утверждение доказано.