11 На рисунке изображены графики функций f(x) = a√x и g(x) = kx + b, которые пересекаются в точке А. Найдите абсциссу точки А.

Решение:

По графику видно, что точки, через которые проходит прямая \( g(x) = kx + b \), это \( (0, 4) \) и \( (2, 0) \).

Подставим первую точку \( (0, 4) \) в уравнение \( g(x) = kx + b \):

\( 4 = k \cdot 0 + b \)

\( b = 4 \).

Теперь уравнение прямой имеет вид \( g(x) = kx + 4 \).

Подставим вторую точку \( (2, 0) \):

\( 0 = k \cdot 2 + 4 \)

\( 2k = -4 \)

\( k = -2 \).

Итак, уравнение прямой: \( g(x) = -2x + 4 \).

По графику видно, что график функции \( f(x) = a\sqrt{x} \) проходит через точку \( (1, 1) \).

Подставим эту точку в уравнение \( f(x) = a\sqrt{x} \):

\( 1 = a\sqrt{1} \)

\( a = 1 \).

Итак, уравнение функции: \( f(x) = \sqrt{x} \).

Точка пересечения \( A \) — это решение системы уравнений:

\( y = \sqrt{x} \)

\( y = -2x + 4 \)

Приравняем правые части:

\( \sqrt{x} = -2x + 4 \)

Возведем обе части в квадрат, учитывая, что \( -2x + 4 \) должно быть неотрицательным, то есть \( x \le 2 \), и \( x ≥ 0 \) (из области определения \( \sqrt{x} \)).

\( x = (-2x + 4)^2 \)

\( x = 4x^2 - 16x + 16 \)

\( 4x^2 - 17x + 16 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 16 = 289 - 256 = 33 \).

Корни: \( x = \frac{17 \pm \sqrt{33}}{8} \).

\( \sqrt{33} \approx 5.74 \).

\( x_1 = \frac{17 + 5.74}{8} = \frac{22.74}{8} \approx 2.84 \). Этот корень посторонний, так как \( x ≥ 2 \).

\( x_2 = \frac{17 - 5.74}{8} = \frac{11.26}{8} \approx 1.41 \).

Проверим этот корень:

\( \sqrt{1.41} \approx 1.18 \).

\( -2(1.41) + 4 = -2.82 + 4 = 1.18 \).

Значения совпадают, поэтому \( x \approx 1.41 \) является решением.

По графику видно, что точка пересечения находится между \( x=1 \) и \( x=2 \).

Ответ: 1.41