12 Найдите наименьшее значение функции y = (x - 17)e^{x-16} на отрезке [15; 17].

Пошаговое решение:

1. 1. Находим производную функции:
   • Используем правило производной произведения: (uv)' = u'v + uv'
   • Пусть u = x - 17, v = e^x-16
   • u' = 1
   • v' = e^x-16 * 1 = e^x-16
   • y' = 1 * e^x-16 + (x - 17) * e^x-16
   • y' = e^x-16 (1 + x - 17)
   • y' = e^x-16 (x - 16)
2. 2. Находим критические точки:
   • Приравниваем производную к нулю: e^x-16 (x - 16) = 0
   • Так как e^x-16 всегда больше нуля, то x - 16 = 0.
   • x = 16.
   • Точка x = 16 находится в пределах отрезка [15; 17].
3. 3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • y(15) = (15 - 17) * e^15-16 = -2 * e^-1 = -2/e
   • y(16) = (16 - 17) * e^16-16 = -1 * e⁰ = -1 * 1 = -1
   • y(17) = (17 - 17) * e^17-16 = 0 * e¹ = 0
4. 4. Сравниваем значения:
   • -2/e ≈ -2/2.718 ≈ -0.736
   • -1
   • 0
   • Наименьшее значение равно -1.

Ответ: -1