11. Решите неравенство: \( \frac{x^2-25}{x-3} \le 0 \)

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов найдем корни числителя и знаменателя:

1. Числитель: \( x^2 - 25 = 0 \) \( \implies x^2 = 25 \) \( \implies x = \pm 5 \).
2. Знаменатель: \( x - 3 = 0 \) \( \implies x = 3 \).
3. Отметим эти точки на числовой прямой: -5, 3, 5. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому точка \( x = 3 \) будет выколотой.
4. Определим знаки выражения \( \frac{x^2-25}{x-3} \) на каждом интервале:
   • При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( \frac{6^2-25}{6-3} = \frac{36-25}{3} = \frac{11}{3} > 0 \).
   • При \( 3 < x < 5 \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{4^2-25}{4-3} = \frac{16-25}{1} = -9 < 0 \).
   • При \( -5 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0^2-25}{0-3} = \frac{-25}{-3} = \frac{25}{3} > 0 \).
   • При \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( \frac{(-6)^2-25}{-6-3} = \frac{36-25}{-9} = \frac{11}{-9} < 0 \).
5. Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \). Это выполняется на интервалах \( (-\infty, -5] \) и \( (3, 5] \). Обратите внимание, что \( x=5 \) включается, так как в этом случае числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup (3; 5] \).