12. Закон прямолинейного движения точки задан формулой \( S = 5t^3 - 2t \). Вычислите ее скорость в момент времени \( t = 1 \text{с} \).

Решение:

Скорость точки в данный момент времени равна производной от её положения по времени.

1. Найдем производную функции \( S(t) = 5t^3 - 2t \) по переменной \( t \).
2. \( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(5t^3 - 2t) \)
3. Используем правила дифференцирования: \( (t^n)' = nt^{n-1} \) и \( (ct)' = c \).
4. \( v(t) = 5 \cdot (3t^{3-1}) - 2 \cdot 1 \)
5. \( v(t) = 15t^2 - 2 \).
6. Теперь подставим значение времени \( t = 1 \text{с} \) в формулу скорости:
7. \( v(1) = 15(1)^2 - 2 \)
8. \( v(1) = 15 \cdot 1 - 2 \)
9. \( v(1) = 15 - 2 = 13 \).

Ответ: 13.