14. Найдите: \( \int (2 \cos 2x - 10x^4) dx \)

Решение:

Для нахождения интеграла используем правила интегрирования:

• \( \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \)
• \( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \)
• \( \int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C \)
• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)

Применим эти правила к данному выражению:

\( \int (2 \cos 2x - 10x^4) dx = \int 2 \cos 2x dx - \int 10x^4 dx \)

\( = 2 \int \cos 2x dx - 10 \int x^4 dx \)

Теперь проинтегрируем каждую часть:

\( 2 \int \cos 2x dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C_1 = \sin 2x + C_1 \)

\( 10 \int x^4 dx = 10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_2 = 10 \cdot \frac{x^5}{5} + C_2 = 2x^5 + C_2 \)

Объединим результаты и константы в одну константу \( C = C_1 - C_2 \):

\( \int (2 \cos 2x - 10x^4) dx = \sin 2x - 2x^5 + C \)

Ответ: \( \sin 2x - 2x^5 + C \).