11. Решите неравенство $$x^2 + x \ge 0$$. В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение:

Решим квадратное неравенство $$x^2 + x \ge 0$$.

1. Вынесем общий множитель $$x$$ за скобки:
2. $$x(x+1) \ge 0$$
3. Найдем корни соответствующего уравнения $$x(x+1) = 0$$:
4. $$x_1 = 0$$
5. $$x_2 = -1$$
6. Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty; -1)$$, $$(-1; 0)$$, $$(0; +\infty)$$.
7. Определим знак выражения $$x(x+1)$$ в каждом интервале:
• При $$x < -1$$ (например, $$x=-2$$): $$(-2)(-2+1) = (-2)(-1) = 2 > 0$$.
• При $$-1 < x < 0$$ (например, $$x=-0,5$$): $$(-0,5)(-0,5+1) = (-0,5)(0,5) = -0,25 < 0$$.
• При $$x > 0$$ (например, $$x=1$$): $$(1)(1+1) = (1)(2) = 2 > 0$$.
8. Нам нужно, чтобы $$x(x+1) \ge 0$$. Это выполняется на интервалах $$(-\infty; -1]$$ и $$[0; +\infty)$$.
9. Таким образом, решение неравенства: $$x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$$.

Сравним с предложенными вариантами:

• 1) $$(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$$ — совпадает.
• 2) $$[-1; 0]$$ — не совпадает.
• 3) $$(-1; 0)$$ — не совпадает.
• 4) $$(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$$ — не совпадает.

Ответ: 1