5. Найдите значение выражения $$\sqrt{\frac{54 \cdot 90 \cdot 15}{121 \cdot 29}}$$

Решение:

Проведем разложение чисел на множители:

• $$54 = 2 \cdot 3^3$$
• $$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$
• $$15 = 3 \cdot 5$$
• $$121 = 11^2$$

Подставим разложения в выражение:

$$\sqrt{\frac{(2 \cdot 3^3) \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)}{11^2 \cdot 29}} = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 3^{3+2+1} \cdot 5^{1+1}}{11^2 \cdot 29}} = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2}{11^2 \cdot 29}}$$

Извлечем квадратный корень:

$$\frac{2 \cdot 3^3 \cdot 5}{11 \sqrt{29}} = \frac{2 \cdot 27 \cdot 5}{11 \sqrt{29}} = \frac{270}{11 \sqrt{29}}$$

Ответ: $$\frac{270}{11 \sqrt{29}}$$