11. Решите уравнение 4sin²x+8cosx+1=0.

Решение:

Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \):

\[ 4(1 - \cos^2 x) + 8 \cos x + 1 = 0 \]\[ 4 - 4 \cos^2 x + 8 \cos x + 1 = 0 \]\[ -4 \cos^2 x + 8 \cos x + 5 = 0 \]\[ 4 \cos^2 x - 8 \cos x - 5 = 0 \]

Пусть \( y = \cos x \). Тогда:

\[ 4y^2 - 8y - 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 \]\[ \sqrt{D} = 12 \]

Найдём корни:

\[ y_1 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = 2.5 \]\[ y_2 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0.5 \]

Так как \( \cos x \) может принимать значения только от -1 до 1, \( y_1 = 2.5 \) не подходит.

Рассмотрим \( \cos x = -0.5 \).

\[ x = \pm \arccos(-0.5) + 2\pi k \, \text{где} \, k \in \mathbb{Z} \]\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \, \text{где} \, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \, \text{где} \, k \in \mathbb{Z} \).