13. Решите уравнение log₄(x-3)+log₄x = 1.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

• \( x - 3 > 0 \) \( \Rightarrow x > 3 \)
• \( x > 0 \)

Объединяя условия, получаем \( x > 3 \).

Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\[ \log_4((x-3) \cdot x) = 1 \]\[ \log_4(x^2 - 3x) = 1 \]

Перейдём от логарифмического уравнения к показательному:

\[ x^2 - 3x = 4^1 \]\[ x^2 - 3x = 4 \]\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]\[ \sqrt{D} = 5 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]\[ x_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим корни по ОДЗ \( x > 3 \).

• \( x_1 = 4 \) удовлетворяет ОДЗ.
• \( x_2 = -1 \) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 4.